Giocare con la matematica. Il problema di Monty Hall.

Avete mai giocato a Blackjack?

Si tratta della variante americana del sette e mezzo, giocato però con un mazzo di carte francesi. Lo scopo è quello di battere il banco sommando il valore di una serie di carte e ottenere un totale il più vicino possibile al 21, senza ovviamente “sballare”.

Nel 1979 un gruppo di brillanti studenti del MIT applicando il calcolo delle probabilità al Blackjack riuscirono a sbancare decine di casinò in tutta Las Vegas.

Qualche anno fa è uscito un film che simula tale vicenda e che consiglio a tutti di vedere. Si intitola 21.
Durante il film viene illustrato il  problema di Monty Hall, una roba che mi ha colpito e il cui principio sta alla base del “contare le carte”, una tecnica usata per “prevedere” quali carte saranno le prossime a venir fuori dal mazzo al gioco del Blackjack. Date un’occhiata.


Da Wikipedia:

Il problema di Monty Hall è un famoso problema di teoria della probabilità, legato al gioco a premi americano Let’s Make a Deal. Prende il nome da quello del conduttore dello show, Maurice Halprin, noto con lo pseudonimo di Monty Hall.

Nel gioco vengono mostrate al concorrente tre porte chiuse; dietro ad una si trova un’automobile, mentre ciascuna delle altre due nasconde una capra. Il giocatore può scegliere una delle tre porte, vincendo il premio corrispondente. Dopo che il giocatore ha selezionato una porta, ma non l’ha ancora aperta, il conduttore dello show – che conosce ciò che si trova dietro ogni porta – apre una delle altre due, rivelando una delle due capre, e offre al giocatore la possibilità di cambiare la propria scelta iniziale, passando all’unica porta restante.

Cambiare porta migliora le chance del giocatore di vincere l’automobile? La risposta è : cambiando le probabilità di successo passano da 1/3 a 2/3.

Lo so, anche io all’inizio mi chiedevo come fosse possibile. E la prima domanda che mi sono posto è stata: ma togliendo una porta la probabilità non passa al 50%? La risposta è no. Per un semplice motivo: in alcune situazioni gli eventi passati condizionano il futuro. Non si tratta di lanciare una monetina più volte; in quel caso ogni evento fa storia a sè.
E’ come nel Blackjack: le carte già uscite e che fanno parte del passato condizionano la probabilità di uscita delle carte future. Ecco perchè contare le carte è un’ottima tecnica.

La soluzione può essere illustrata come segue. Ci sono tre scenari possibili, ciascuno avente probabilità 1/3:

  • Il giocatore sceglie la capra numero 1. Il conduttore sceglie l’altra capra, la numero 2. Cambiando, il giocatore vince l’auto.

  • Il giocatore sceglie la capra numero 2. Il conduttore sceglie l’altra capra, la numero 1. Cambiando, il giocatore vince l’auto.

  • Il giocatore sceglie l’auto. Il conduttore sceglie una capra, non importa quale. Cambiando, il giocatore trova l’altra capra.

 

Nei primi due scenari, cambiando il giocatore vince l’auto; nel terzo scenario il giocatore che cambia non vince. Dal momento che la strategia “cambiare” porta alla vittoria in due casi su tre, le chance di vittoria adottando la strategia sono 2/3.

Quindi, in alcuni casi, quando ci si trova a dover prendere una decisione, tocca sempre prendere in considerazione  il cambio di variabile. Cambiare non è un’opzione. Cambiare è necessario.

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